3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral. Luego el área de la región es 20 u2. Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente: No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes. EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva acotada por [−5,5]SOLUCIÓN: 1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto. FIG 3. 2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así:[−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por: A = A1 + A23. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma: Luego el área de la región sombreada es de u2.

ÁREA BAJO CURVA

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:

fig.1

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior. 

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

.PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

 

  3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

  

Luego el área de la región es 20 u².

Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

 EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva  acotada por [−5,5]

SOLUCIÓN:  

1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

 FIG 3.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A₁y A₂ respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así:[−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por:

A = A₁ + A₂

3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de  u².

ÁREA ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN.

Para plantear la siguiente definición, debemos de tener en cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el numeral 1, es decir:

Definición: Consideremos 2 funciones, f (x) y g(x) continuas en el intervalo, [b,a]  de forma que f (y) > g(y).  Observen la siguiente figura:

 

 El área de la región R viene dada por:         

Es razonable la definición anterior. En efecto, f (x) ≥ g(x), luego f (x) - g(x) ≥ 0, y el área de la región determinada por la anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A≥0.

 Ahora consideremos la siguiente gráfica:

  

Ahora f (x) y g(x) son continuas en el intervalo [d,c], con f (y) > g(y). Luego para este caso área de R viene dada por . Obsérvese que tanto los límites de integración y las variables involucradas Dependen ahora de “y”.
 En los siguientes ejemplos, las dos curvas se intersecan, pero tomaremos regiones determinadas por intervalos que no contengan el punto (o puntos de intersección de las dos curvas).

EJEMPLO 1: Determinar el área de la región determinada por

y las rectas  

 SOLUCIÓN: En primera medida tracemos la región correspondiente:

 

Según la definición anterior el área de la región R, viene dada por:

 

 Al evaluar esta integral obtenemos:

 

 Luego el área de R es 296/3 u².

EJEMPLO 2:

Hallar el área de la región acotada por  ,

y por 

SOLUCIÓN: En primera medida, trazamos la región a la cual le vamos a hallar el área:

   

El área de la región R viene dada por.

 

 Evaluando esta integral obtenemos: 

 

Bastante curioso. ¡El área de la región R es de 2 u², aún cuando R no sea poligonal!

 

AREA BAJO LA CURVA

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.f(x)= x2 + 1