3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral. Luego el área de la región es 20 u2. Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente: No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes. EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva acotada por [−5,5]SOLUCIÓN: 1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto. FIG 3. 2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A1y A2 respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así:[−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por: A = A1 + A23. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma: Luego el área de la región sombreada es de u2.

ÁREA BAJO CURVA

Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a,b ], el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:

fig.1

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior. 

Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.

.PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Aplicando la definición anterior, el área de la región R viene dado por:

 

  3. EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral.

  

Luego el área de la región es 20 u².

Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:

No es sorprendente que se hayan obtenido resultados equivalentes.

 EJEMPLO 2: Hallemos el área de la región acotada por la curva  acotada por [−5,5]

SOLUCIÓN:  

1. TRAZO DE LA REGIÓN: Presentamos el trazo de la curva junto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por su puesto.

 FIG 3.

2. PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL: Si se observa la fig 3, las rectas x= −5 y x = 5 dividen la región en dos partes; A₁y A₂ respectivamente. También se puede ver que el intervalo se puede dividir en dos, así:[−5,5] , [−5,0] y [−0,5]. Luego el área de la región (coloreada de verde) viene dada por:

A = A₁ + A₂

3. EVALUCION DE LA INTEGRAL: Ahora procedemos a evaluar la integral de la siguiente forma:

Luego el área de la región sombreada es de  u².

ÁREA ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN.

Para plantear la siguiente definición, debemos de tener en cuenta las mismas condiciones de la definición planteada en el numeral 1, es decir:

Definición: Consideremos 2 funciones, f (x) y g(x) continuas en el intervalo, [b,a]  de forma que f (y) > g(y).  Observen la siguiente figura:

 

 El área de la región R viene dada por:         

Es razonable la definición anterior. En efecto, f (x) ≥ g(x), luego f (x) - g(x) ≥ 0, y el área de la región determinada por la anterior diferencia es mayor que cero, es decir: A≥0.

 Ahora consideremos la siguiente gráfica:

  

Ahora f (x) y g(x) son continuas en el intervalo [d,c], con f (y) > g(y). Luego para este caso área de R viene dada por . Obsérvese que tanto los límites de integración y las variables involucradas Dependen ahora de “y”.
 En los siguientes ejemplos, las dos curvas se intersecan, pero tomaremos regiones determinadas por intervalos que no contengan el punto (o puntos de intersección de las dos curvas).

EJEMPLO 1: Determinar el área de la región determinada por

y las rectas  

 SOLUCIÓN: En primera medida tracemos la región correspondiente:

 

Según la definición anterior el área de la región R, viene dada por:

 

 Al evaluar esta integral obtenemos:

 

 Luego el área de R es 296/3 u².

EJEMPLO 2:

Hallar el área de la región acotada por  ,

y por 

SOLUCIÓN: En primera medida, trazamos la región a la cual le vamos a hallar el área:

   

El área de la región R viene dada por.

 

 Evaluando esta integral obtenemos: 

 

Bastante curioso. ¡El área de la región R es de 2 u², aún cuando R no sea poligonal!

 

AREA BAJO LA CURVA

Dada una función f(x)>0 en un intervalo [a,b], para encontrar el área bajo la curva procedemos como sigue:
Hacemos una partición (dividimos) del intervalo [a,b] en n-subintervalos iguales de longitud x=(b-a)/n. Esta será la longitud de la base de cada uno de los n rectángulos.
En cada subintervalo escogemos un valor especial de x para evaluar la función. A este valor lo denotamos como x* y entonces f(x*) es la altura del rectángulo en ese subintervalo.
Ahora sumamos las áreas de los n rectángulos. El área de los n rectángulos es entonces:
Definimos el área bajo la curva como:
Límite de la sumatoria de Riemann cuando n tiende a Infinito.
Para ejemplificar lo anterior, ahora se calculará la suma de Riemann como función de n, el número de rectángulos. También se calculará el límite cuando n, cuyo valor es, por definición, el área bajo la curva.f(x)= x2 + 1

Historia del cálculo

Diagrama de Arquímedes

Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible: Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse. Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Diagrama de Arquímedes

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del  área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ... El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de p. Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución. No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad.

Luca Valerio

(1552-1618) publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. Kepler, en su trabajo  sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo. Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacercontribuciones importantes.

 Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y  demostró que tenía un valor aproximado de (0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones.

Generalizó la parábola y la hipérbola: Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.

Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m. Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rp para r entre 1 y n.  Triángulo de Barrow  El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial deBarrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental delCálculo.

 El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli. Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual ex. Aquí se pueden ver la Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks.  Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice: En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xn se convierte en (x + o)n, es decir, por el método de series infinitas, xn + noxn-1 + (nn - n)/2 ooxn-2 + ...

Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites' Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina. Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eranvelocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis. Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y . de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación

.y dy = y²/2

escrita exactamente como se hace hoy.   Sus resultados sobre cálculo integral fueron  publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690. En el año 1684, el profesor y diplomático alemán Gottfried  Wilhelm  Leibniz  publicó un trabajo matemático en la revista Acta Eruditorum en el que se anunciaba "un nuevo método para los máximos, los mínimos y las tangentes, que no es obstaculizado por las cantidades fraccionarias, niirracionales, así como un notable tipo de cálculo para esto", es decir, un trabajo acerca de lo que hoy conocemos con el nombre de cálculo diferencial. Dos años después publicó, en esa misma revista, las bases de lo que conocemos hoy como Cálculo Integral. Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primerodesarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton era estudiante del Trinity College de Cambridge e inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos ytangentes sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún obstáculo.

. En 1669, cuando Newton contaba 27 años, ya ocupaba una cátedra de matemáticas enCambridge, pero cuando realmente saltó a la cumbre de la fama fue en 1687, año en que publicó su libro Principia Mathematica, obra que, según algunos, es el mayor libro científico jamás escrito. En ella explicaba las leyes que rigen el universo, y deducía matemáticamente desde los flujos de las mareas hasta las órbitas de los planetas. Con esta obra, Newton se convirtió en el símbolo vivo de la nueva ciencia y en un semidiós de los ámbitos científicos. A partir de ahí, lo hicieron diputado, Director de la Real Casa de la Moneda y presidente de la Royal Society (organismo inglés integrado por los más prestigiosos científicos)

Historia y el nacimiento del cálculo

Introducción

El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la  humanidad. Una vez construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la  geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva  perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría,  existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible  su nacimiento. Es  muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula,  desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva  idea, de una nueva teoría, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna,  de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del  andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la  tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, o más bien dicho, coinventores, pero representan un eslabón en una larga cadena iniciada muchos  siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de  sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la precisión  necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo  posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres  como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por problemas  matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón  y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometría  Analítica desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.  Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton  y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos  enfatizaron la experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi

absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos parte. El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante

los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se  puede considerar como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.

El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo  En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:

 Encontrar la tangente a una curva en un punto.

. Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad. 

. Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

. Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.

En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el físico-matemático inglés Isaac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton están motivados por sus propias investigaciones físicas (de allí que tratara a las variables como "cantidades que

fluyen") mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y, diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a los que llama diferenciales. Un incremento de infinitamente pequeño se llama diferencial de , y se anota . Lo mismo ocurre

para y (con notación ). Lo que Newton llamó fluxión, para Leibniz fue un cociente de diferenciales ().

El siglo XVIII

Durante buena parte del siglo los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton francés".

 El gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo, mecánica y álgebra que se

convirtieron en modelos a seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como físicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teoría de Newton se basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de Lagrange era completamente algebraico, y

basado en el concepto de las series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.

El siglo XIX

Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la

definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.

 Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas,

hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. Lateoría de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas nociones tan ricas.

Gauss desarrolló la geometría no euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).

Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más abstractas encuentra aplicación.

Conclusiones

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados, reformulados o agrEste es un resumen de algunos de los momentos y logros históricos

más importantes de esta rama importantísima de las matemáticas y pretende motivarte para que realices una indagación e investigación más profunda sobre las ideas y los hechos aquí presentados.

Los contribuyentes al Cálculo

A lo largo de la historia de los tiempos, numerosos matemáticos, físicos, filósofos y astrónomos entre otros, contribuyeron de alguna u otra forma al nacimiento, desarrollo y consolidación del cálculo. A continuación aparecen los nombres surgidos en las diferentes épocas, los logros más importantes de algunos de ellos y reseñas biográficas de quienes realizaron los aportes más relevantes al nacimiento del cálculo y la integral definida.

Antes de Cristo

THALES DE MILETO (624-547 a.C.)

PITÁGORAS de SAMOS (580-500 a.C.)

ZENÓN DE ELEA (490-425 a.C.)

PLATÓN (427-347 a.C.)

EUDOXO de CNIDUS (408-355 a.C.): creador del método de

exhaución

ARQUÍMEDES (287-212 a.C.): nativo de Siracusa, Sicilia estudió en Alejandría. Desarrolló métodos infinitesimales. Hizo una de las más significativas contribuciones griegas, utilizó el método de exhaución para encontrar el valor aproximado del área de un  círculo.

Siglo XVI

LUCA VALERIO (1552-1618)

SIMON STEVIN (1548-1620)

GALILEO GALILEI (1564-1642)

JOHANNES KEPLER (1571-1630)

RENÉ DESCARTES (1596-1650)

BONAVENTURA CAVALIERI (1598-1647): desarrolló un método  de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral. Su método consiste en comparar proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas áreas o volúmenes se conocen.

Siglo XVII

PIERRE DE FERMAT (1601-1665): desarrolló métodos ingeniosos y útiles para encontrar máximos y mínimos. Trata de encontrar pruebas más o menos rigurosas de la conjetura de Cavalieri.

GILLES DE ROBERVAL (1602-1675)

EVANGELISTA TORRICELLI (1608-1647): volúmenes generados por la rotación de ciertas curvas. Discípulo de Galileo Galilei.

JOHN WALLIS (1616-1703): tuvo una influencia decisiva en los primeros desarrollos del trabajo matemático de Newton

BLAIS PASCAL (1623 -1662)

CRISTIAN HUYGENS (1629-1695)

ISAAC BARROW (1630-1677)

ISAAC NEWTON (1643-1727)

GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716)

MICHEL ROLLE (1652-1719)

JACOB BERNOULLI (1654-1705): matemático suizo que se carteaba con frecuencia con Leibniz, acuñó la palabra integral como término del cálculo en el año 1690.

GUILLAUME FRANCOIS ANTOINE MARQUIS L´HOPITAL (1661-1704): escribió el primer libro de cálculo en el año 1696 influenciado por las lecturas que realizaba de sus profesores Bernoulli y Leibniz.

JOHANN BERNOULLI (1667-1748)  

BROOK TAYLOR (1685-1731)

COLIN MACLAURIN (1698-1746)

Siglo XVIII

LEONARD EULER (1707-1783)

THOMAS SIMPSON (1710-1761): sus principales trabajos se refieren a interpolación y métodos numéricos de integración.
ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT (1713-1765)

MARIA GAËTANA AGNESI (1718-1799)

JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736-1813)

MARQUÉS DE CONDORCET (1743-1794)  

GASPARD MONGE (1746-1818)

PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827)

ADRIEN LEGENDRE (1752-1833)

LAZARE CARNOT (1753-1823)

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1813)

BERNARD BOLZANO (1781-1848)

AGUSTIN-LOUIS CAUCHY (1789-1857): trabajó en la tarea de dar una definición precisa de "función continua".
GEORGE GREEN (1793-1841)

Siglo XIX

NIELS ABEL (1802-1829)

KARL WEIERSTRASS (1815-1897)

GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)

GEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN (1826-1866)

RICHARD DEDEKIND (1831-1916)

JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903)

GEORG CANTOR (1845-1918)

SOFÍA KOVALEVSKY (1850-1891)

HENRI LÉON LEBESGUE (1875-1941)

Siglo XX

ANDREY NIKOLAEVICH KOLMOGOROV (1903-1987)

JOHN VON NEUMANN (1903-1957)

JEAN ALEXANDRE EUGENÈ DIEUDONNÉ (1906-1992)

NICOLÁS BOURBAKI (1939-1967): seudónimo adoptado por un grupo de matemáticos franceses. del Cálculo.